基本引力微子和它的物理“暗世界” 

第十一章

暗物质引力微子FG构成宇宙的数理模型

在已观测到的物质中,各星系的质量对宇宙平均密度有决定性的贡献,它的大小是

P = 3.1x10-28 kg/cm3               (11-1)

其它类型物质对密度的贡献都比星系低几个量极。例如,微波背景辐射的密度为10-32 kg /cm3;宇宙射线的密度为10-32 kg/cm3; 星光的密度为10-32 kg /cm3 X射线的密度为l0-34 kg/cm3 等等。所以(11-1)式中的数值就可以看做是已观测到的宇宙物质的总平均密度。

另一方面热大爆炸宇宙学的基本方程为

              (11-2)

        (11-3)

其中R(t)是宇宙的标度因子, k = -1, 0。 1,分别对应于开,平直,闭宇宙 ,由 (11-2) 和 (11-3)式消去可得到一个关于标度因子R(t)的一阶微分方程

                   (11-4)

度量宇宙 膨胀的哈勃参量定义为

                         (11-5)

场方程 (11-4) 可改写成

                 (11-6)

其中

                        (11-7)

宇宙现时的能量密度和压强可由方程(11-2)和(11-3)得出

               (11-8)

       (11-9)

其中R0 是宇宙标度因子R(t)的现时值,H0 q0是哈勃参数H和减速参数 的现时值,由(11-8)可知,空间曲率k/R2为正或负,决定于p0究竟大于还是小于临界密度。

 (11-10)

现时哈勃参量的观测值是

H0 =50km · s-1 · Mpc-1        (11-11)

现时减速参量的观测值是

q0 = 1.0 ± 0.8                (11-12)

有足够的根据认为宇宙现时的能量密度主要决定于非相对论性物质,且满足

P0 << ρ0

那么,我们从 (11-9)可知

k / R02=(2q0 –1) H02          (11-14)

并由(11-8)式得到现时密度与临界密度的比为

ρ0 / ρ c = 2 q0  (11-15)

(11-1)代入(11-15)式,得到 q0 = 0.02,这与q0 的观测值 (11-12)相差太大。这一结果表明不可视物质不仅必定存在,在宇宙 中至少90% 的物质一定由所谓非重子物质所组成,而且这类物质的电磁相互作用十分微弱,否则它们就不会如此之暗,以至于很难探测到。在上一节之中,我们已经讨论到单个FG 元粒子不可能对“FG以太”有较强的牵携, g=0,即FG元粒子的电磁相互作用十分弱,所以FG元粒子可以作为暗物质的候选者。

11.1. FG¾ FG构成整个宇宙的数理分析

如果考虑到FG物质的分布密度为p(r),在牛顿力学的框架下FG物质将满足Poisson方程

V = 4πGρ                    (11.1-1)

其中V是FG物质的引力势, G是牛顿引力常数。另一方面,在非相对论性近似下,FG物质应当满足薛定谔方程

        (11.1-2)

对于具有相同量子态的N个FG元粒子的物质密度分布为

ρ = N mF ψ*ψ                (11.1-3)

其中单粒子波函数应满足规一化条件

                 (11.1-4)

我们现在研究球对称的FG星体,所以我们仅讨论系统的基态波函数,即n = 1, l = 0 态。球对称基态径向波函数在取无量纲的单位下,满足如下的方程组。

       (11.1-5)

             (11.1-6)

                 (11.1-7)

其中

r = h2 · · G-1 · N-1 · u /2       (11.1-8)

        (11.1-9)

              (11.1-10)

             (11.1-11)

薛定谔方程的边界条件:当u→∞ 时, Φ(u) → 0。由于我们仅考虑系统的基态,我们要求波函数Φ(u)不存在节点。利用常微分方程的Runge-Kutta 方法可以进行数值积分计算。数值积分给出基态的束缚态能E0 = -0.054 G2 N3 mF5 / h2 ,所以FG星的总能量M为

   (11.1-12)

从上式很容易导出,FG星总能量的上限。M的最大值发生在

.

所以

           (11.1-13)

另一方面,由于mF 的数值很小,如将mF=3.6x10-45kg 代入上式,容易发现

MMAX = 2.1 x 1036 g ≈ 10.5 x 103 M£  (11.1-14)

所以利用FG方案,确实可以解决宇宙的暗物质问题

11.2 FG星质量的解析研究

在牛顿力学的近似下,我们可以进一步对N个FG 元粒子系统能量作解析研究,两个FG元粒子之间的牛顿势为

       (11.2-1)

(11.2-1)式,N个FG元粒子之间的总哈密顿量为

                 (11.2-2)

其中

          (12.2-3)

以氢原子的两体哈密顿量相比,我们发现N个FG元粒子的总哈密顿量仅有的差别是用质量 替代 mp,所以关于氢原子的薛定谔方程的结果均可以在适当的替代下以用。基态的期望值 满足不等式

                      (11.2-4)

所以,我们有N个FG 元粒子的自引力系统的基态能量的下限:

              (11.2-5)

这是一个初步的解析结果,如果进一步将质心动能分离出来,我们可以得到更好的解析结果。

利用数学恒等式

           (11.2-6)

N个FG元粒子在它们的质心系中的相对运动是由下述哈密顿量描述的

                              (11.2-7)

其中

                    (11.2-8)

定义 () 是共轭动量为 = ()/2, () 提供了正则交换关系。 (11.2-8)式可以改写为

                       (11.2-9)

hij 的期望值的下限为

                        (11.2-10)

所以,基态的下限是

                      (11.2-11)

另一方面,如果利用试探波函数

                 (11.2-12)

并采用标准的变分技术,可以得 到基态能量的下限为

               (11.2-13)

如果考虑到FG星是由大量的FG元粒子组成,则我们发现E0的上下限仅相差15%,我们可以取其平均值 , FG星体的平均质量M为

= N m– 0.058 N3 mF5 / mpl4        (11.2-14)

如将 mF=3.6 x 10-35 kg 代入上式,则表达式约化成

= (N – 4.3 x 10-155 N3) mF         (11.2-15)

在图4中我们作出了关于粒子数N的函数分布值

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